8. sınıf matematiğinin ilk ünitesi olan çarpanlar ve katlar, LGS hazırlığının temel taşıdır. Bu ünitede öğrendiğin asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK becerileri yalnızca kendi sorularında değil; üslü ifadeler, kareköklü ifadeler ve kesirlerle ilgili pek çok soruda da işine yarar. LGS’de bu üniteden gelen sorular genellikle günlük hayattan bir senaryoyla sorulur: bahçeye ağaç dikmek, kurdeleleri eşit parçalara ayırmak ya da otobüslerin aynı anda kalkacağı saati bulmak gibi. Bu rehberde LGS çarpanlar ve katlar konu anlatımını temelden başlayarak, çözümlü yeni nesil sorularla birlikte ele alıyoruz.
📌 Bu yazıda neler var?
- Çarpan ve kat kavramları, bir sayının tüm çarpanlarını bulma
- Asal sayılar ve bölünebilme kuralları
- Asal çarpanlara ayırma (çarpan ağacı ve bölen merdiveni)
- EBOB ve EKOK hesaplama yöntemleri
- Aralarında asal sayılar
- “EBOB mu, EKOK mu?” ayırt etme tablosu
- 6 çözümlü LGS tarzı soru, sık yapılan hatalar ve çalışma planı
Çarpanlar ve Katlar Ünitesinde Neler Öğreniyoruz?
Ünitenin kazanımları kısa ama yoğundur. Aşağıdaki tablo, hangi becerinin LGS’de hangi soru tipine dönüştüğünü ve ne kadar önemli olduğunu gösteriyor:
| Kazanım | LGS’deki karşılığı | Önem |
|---|---|---|
| Pozitif tam sayıların çarpanlarını bulma | Çarpan sayısı, dikdörtgen modelleri | 🔥🔥 |
| Asal çarpanları üslü ifadeyle gösterme | Tüm ünitenin altyapısı | 🔥🔥🔥 |
| İki sayının EBOB ve EKOK’unu hesaplama | Doğrudan işlem soruları | 🔥🔥🔥 |
| EBOB–EKOK gerçek yaşam problemleri | Yeni nesil senaryo soruları | 🔥🔥🔥 |
| Aralarında asal sayıları belirleme | Kavram ve sayı çifti soruları | 🔥🔥 |
Görüldüğü gibi ünitenin kalbi asal çarpanlara ayırmadır. Bu beceri oturduğunda EBOB, EKOK ve aralarında asallık neredeyse kendiliğinden çözülür. Şimdi adım adım ilerleyelim.
1. Çarpan ve Kat Nedir?
Bir doğal sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Örneğin 12’yi kalansız bölen sayılar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir; bunlar 12’nin çarpanlarıdır. Bir sayının katları ise o sayının doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilir. 12’nin katları 12, 24, 36, 48… diye sonsuza kadar devam eder.
Kısacası: Çarpanlar sınırlıdır, katlar sonsuzdur. Her sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir. Her sayının en küçük katı da yine kendisidir.
Bir Sayının Tüm Çarpanlarını Bulma: Eşleme Yöntemi
Çarpanları kaçırmadan bulmanın en güvenli yolu, sayıyı iki doğal sayının çarpımı şeklinde çiftler hâlinde yazmaktır. 1’den başlayıp sırayla dene; çarpanlar birbirine yaklaşıp yer değiştirmeye başladığında dur.
✅ Örnek: 24’ün çarpanları
24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6. Sıradaki çarpım 6 · 4 olurdu, yani tekrar başladı; burada durulur. Çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 tane).
Bu yöntemin güzel bir sonucu var: Çarpanlar her zaman çift çift gelir. Tek istisna tam kare sayılardır. 36 = 6 · 6 olduğundan 6 kendi eşidir ve çarpan sayısı tektir: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 tane). LGS’de “çarpan sayısı tek olan sayı hangisidir?” sorusunun cevabı her zaman bir tam kare sayıdır. Bu bilgi kareköklü ifadeler ünitesiyle doğrudan bağlantılıdır.
💡 Dikdörtgen modeli: Alanı 24 birimkare olan, kenar uzunlukları doğal sayı olan kaç farklı dikdörtgen çizilebilir? Her çarpan çifti bir dikdörtgen verir: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6. Yani 4 farklı dikdörtgen. LGS’de çarpanlar sıkça bu kareli kâğıt modeliyle sorulur.
2. Asal Sayılar ve Bölünebilme Kuralları
1’den ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir. 100’den küçük asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- 1 asal sayı değildir. Tek çarpanı vardır.
- 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm çift sayılar 2’ye bölündüğü için asal olamaz.
- Asal olmayan, 1’den büyük doğal sayılara bileşik sayı denir (4, 6, 8, 9, 10…).
Asal çarpanlara ayırırken işini hızlandıracak bölünebilme kuralları:
| Bölen | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| 2 | Son basamak çift (0, 2, 4, 6, 8) | 358 ✔ |
| 3 | Rakamlar toplamı 3’ün katı | 471 → 4+7+1 = 12 ✔ |
| 4 | Son iki basamak 4’ün katı | 1 316 → 16 ✔ |
| 5 | Son basamak 0 veya 5 | 745 ✔ |
| 6 | Hem 2’ye hem 3’e bölünür | 264 ✔ |
| 9 | Rakamlar toplamı 9’un katı | 729 → 18 ✔ |
| 10 | Son basamak 0 | 1 250 ✔ |
3. Asal Çarpanlara Ayırma
Her bileşik sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabilir. Buna asal çarpanlara ayırma denir. Sonuç üslü ifadelerle gösterilir. İki yaygın yöntem vardır:
Bölen Merdiveni (Bölme Yöntemi)
Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölebildiğin kadar böl, 1’e ulaşınca dur. 360 için: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1. Kullanılan bölenler: 2, 2, 2, 3, 3, 5.
Çarpan Ağacı
Sayıyı herhangi iki çarpanına ayırırsın ve asal olmayan dalları ayırmaya devam edersin. 84 → 4 · 21 → (2 · 2) · (3 · 7). Sonuç: 84 = 2² · 3 · 7. Hangi çarpanlarla başlarsan başla, sonuç her zaman aynı çıkar.
💡 Bonus – Çarpan sayısını hızlı bulma: Asal çarpan gösterimindeki üslerin her birine 1 ekleyip çarparsan sayının toplam çarpan sayısını bulursun. 360 = 2³ · 3² · 5¹ için (3+1) · (2+1) · (1+1) = 4 · 3 · 2 = 24 çarpan. Bu kısayol programda doğrudan yer almasa da şıklı sorularda kontrol için çok kullanışlıdır. Üslü gösterimle ilgili tekrara ihtiyacın varsa LGS üslü sayılar konu anlatımı yazımıza göz at.
4. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki veya daha fazla sayının ortak çarpanlarının en büyüğüne EBOB denir. Örneğin 12’nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18’in çarpanları 1, 2, 3, 6, 9, 18’dir. Ortak çarpanlar 1, 2, 3, 6 olduğundan EBOB(12, 18) = 6‘dır. Küçük sayılarda listeleme yöntemi işe yarar, ancak sayılar büyüdükçe asal çarpan yöntemi çok daha hızlıdır.
✅ Örnek: EBOB(36, 48) kaçtır?
36 = 2² · 3² ve 48 = 2⁴ · 3. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3. En küçük üsler: 2² ve 3¹. EBOB = 2² · 3 = 12.
Bölen merdiveniyle EBOB: İki sayıyı yan yana yaz ve ikisini birden bölen asal sayılarla böl. Sadece ortak bölenleri çarptığında EBOB’u bulursun. 36 ve 48’i önce 2’ye (18, 24), sonra yine 2’ye (9, 12), sonra 3’e (3, 4) böleriz. Artık ortak bölen yok. EBOB = 2 · 2 · 3 = 12.
5. EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir. 4’ün katları 4, 8, 12, 16, 20, 24…; 6’nın katları 6, 12, 18, 24… Ortak katların en küçüğü 12 olduğundan EKOK(4, 6) = 12‘dir.
✅ Örnek: EKOK(36, 48) kaçtır?
36 = 2² · 3² ve 48 = 2⁴ · 3. Tüm asal çarpanlar 2 ve 3. En büyük üsler: 2⁴ ve 3². EKOK = 16 · 9 = 144.
💡 Altın kural: İki doğal sayı için a · b = EBOB(a, b) · EKOK(a, b) eşitliği her zaman sağlanır. Kontrol: 36 · 48 = 1 728 ve 12 · 144 = 1 728 ✔. Sorularda EBOB ve sayılardan biri verilip EKOK sorulduğunda bu eşitlik işini saniyeler içinde bitirir. Dikkat: Bu kural üç sayı için geçerli değildir.
Ortak Bölenler ve Ortak Katlar Arasındaki Gizli Bağlantı
LGS’de sıkça kullanılan ama ders kitaplarında çoğu zaman gözden kaçan iki özellik vardır. Birincisi: İki sayının tüm ortak bölenleri, EBOB’un bölenleridir. EBOB(36, 48) = 12 olduğuna göre 36 ile 48’in ortak bölenleri 12’nin bölenleri olan 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir; yani tam 6 ortak bölen vardır. İkincisi: İki sayının tüm ortak katları, EKOK’un katlarıdır. EKOK(4, 6) = 12 ise ortak katlar 12, 24, 36, 48… şeklinde devam eder.
✅ Örnek: 200’den küçük kaç sayı hem 12’nin hem 18’in katıdır?
Ortak katlar EKOK’un katlarıdır: EKOK(12, 18) = 36. 200’den küçük katları 36, 72, 108, 144 ve 180’dir. Cevap: 5 sayı. Bu yöntemle uzun listeler yazmadan, tek bir bölme işlemiyle sonuca ulaşırsın.
Kısacası bu ünitede ezberden çok mantık önemlidir. Bir sayının yapısını, yani hangi asal sayılardan oluştuğunu gördüğünde çarpanlarını, katlarını, EBOB’unu ve EKOK’unu tek bir gösterimden okuyabilirsin. Bu yüzden her soruda ilk adım olarak sayıları asal çarpanlarına ayırmayı alışkanlık hâline getir.
6. Aralarında Asal Sayılar
1’den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir. Yani EBOB’ları 1’dir. Burada sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 8 ve 15 asal değildir ama aralarında asaldır, çünkü 8 = 2³ ve 15 = 3 · 5’in ortak asal çarpanı yoktur.
- Aralarında asal iki sayının EKOK’u çarpımlarına eşittir: EKOK(8, 15) = 120.
- Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır (14 ve 15 gibi).
- 1, her doğal sayıyla aralarında asaldır.
- Farklı iki asal sayı her zaman aralarında asaldır.
7. EBOB mu, EKOK mu? Soruyu Doğru Okuma Rehberi
Bu ünitede yapılan hataların büyük kısmı işlem hatası değil, soruyu yanlış yorumlamaktır. Öğrenci EBOB’u doğru hesaplar ama soru EKOK istemektedir. Aşağıdaki tablo, soru kökündeki ipuçlarından hangisinin istendiğini anlamana yardım eder:
| EBOB kullanılır 🔽 | EKOK kullanılır 🔼 |
|---|---|
| Bir bütünü eşit parçalara bölme | Parçaları birleştirerek bütün oluşturma |
| “En büyük”, “en uzun”, “en fazla” parça boyu | “En az”, “en kısa sürede” tekrar buluşma |
| Bahçe kenarına eşit aralıklarla ağaç dikme | Küçük fayanslarla kare bir alan oluşturma |
| Kurdele, kumaş, tahta kesme | Otobüs, alarm, nöbet gibi periyodik olaylar |
| Sonuç, verilen sayılardan küçük ya da eşit | Sonuç, verilen sayılardan büyük ya da eşit |
Son satır en pratik kontrol yöntemidir: Bulduğun sonuç verilen sayılardan büyükse EBOB sorusunda hata yapmışsındır, küçükse EKOK sorusunda.
8. LGS Tarzı Çözümlü Sorular
Aşağıdaki sorular LGS’deki yeni nesil soru tarzında hazırlandı. Önce kendin çöz, sonra çözümü kontrol et.
Daha fazla pratik için LGS matematik deneme sınavı sayfamızdaki testi çözebilir, tüm derslerin denemelerine deneme sınavları bölümünden ulaşabilirsin.
9. Sık Yapılan Hatalar Tablosu
| ❌ Yanlış | ✅ Doğru | Neden? |
|---|---|---|
| 1 asal sayıdır | 1 asal değildir | Asal sayının tam iki çarpanı olmalı. |
| 9, 15, 21 asaldır | Hepsi bileşiktir | Tek sayı olmak asal olmak demek değildir. |
| 72 = 2 · 3 · 4 · 3 | 72 = 2³ · 3² | 4 asal değil; ayrıştırma bitmeli. |
| Kapalı bahçede ağaç = aralık + 1 | Kapalı şekilde ağaç = aralık sayısı | Başlangıç ve bitiş noktası aynı ağaçtır. |
| Düz bir yolda ağaç = aralık sayısı | Açık yolda ağaç = aralık + 1 | İki uca da ağaç dikilir. |
| Aralarında asal sayılar asal olmalı | 8 ve 15 aralarında asaldır | Sadece EBOB’un 1 olması yeterli. |
| a · b · c = EBOB · EKOK | Kural yalnızca iki sayı için | Üç sayıda eşitlik bozulur. |
10. Çarpanlar ve Katlar İçin 5 Günlük Çalışma Planı
MEB’in açıkladığı takvime göre 2027 LGS merkezî sınavı 13 Haziran 2027 Pazar günü yapılacak. Çarpanlar ve katlar 8. sınıfın ilk ünitesi olduğu için okulda en erken işlenen konudur; bu da onu tekrar listesinde en kolay unutulan konu hâline getirir. Aşağıdaki plan, konuyu kalıcı hâle getirmek için günde 40–50 dakikalık çalışmaya göre hazırlandı:
Bu üniteyi bitirdikten sonra sıradaki konular olan üslü ifadeler ve kareköklü ifadeler çok daha kolay gelecek, çünkü ikisi de asal çarpanlara ayırma becerisine dayanır. Matematiğin tüm ünitelerine genel bakış için LGS matematik konu anlatımı rehberimize, deneme sonuçlarını puana çevirmek için de LGS puan hesaplama aracımıza göz atabilirsin.
Sıkça Sorulan Sorular
EBOB ile EKOK arasındaki fark nedir?
EBOB, sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüdür ve sonucu verilen sayılardan büyük olamaz. EKOK ise sayıların ortak katlarının en küçüğüdür ve sonucu verilen sayılardan küçük olamaz. Bölme ve parçalama sorularında EBOB, birleştirme ve tekrar buluşma sorularında EKOK kullanılır.
1 neden asal sayı değildir?
Asal sayıların tam olarak iki farklı çarpanı vardır: 1 ve kendisi. 1’in ise yalnızca bir çarpanı vardır. Bu nedenle 1 ne asal ne de bileşik sayıdır.
Çarpan sayısı tek olan sayılar hangileridir?
Yalnızca tam kare sayıların çarpan sayısı tektir. Çünkü tam kare bir sayıda bir çarpan kendisiyle eşleşir (36 = 6 · 6). Diğer tüm sayıların çarpanları çift çift geldiği için çarpan sayıları çifttir.
Aralarında asal sayıların EKOK’u nasıl bulunur?
Aralarında asal iki sayının ortak asal çarpanı olmadığından EKOK’ları doğrudan çarpımlarına eşittir. Örneğin EKOK(9, 10) = 90’dır.
2027 LGS ne zaman yapılacak?
MEB’in 2027 sınav uygulama takvimine göre merkezî sınav 13 Haziran 2027 Pazar günü yapılacak. Tarihler ve tercih süreci için LGS tarihleri ve tercih rehberi sayfamızı takip edebilirsin.
🎯 Sonuç
Çarpanlar ve katlar ünitesi, LGS matematiğinin temelini oluşturur. Asal çarpanlara ayırmayı hızlı ve hatasız yapabildiğinde EBOB ve EKOK hesapları birkaç saniyelik işlemlere dönüşür. Asıl fark yaratan beceri ise soruyu doğru okumaktır: parçalama varsa EBOB, birleştirme ve tekrar buluşma varsa EKOK. Bu ayrımı oturttuğunda üniteden gelen yeni nesil sorular puan kaybettiğin değil, güvenle puan topladığın sorulara dönüşür.
Tüm derslerin konu anlatımları, denemeler ve güncel LGS haberleri için lgs.org.tr ana sayfasını ziyaret et ve LGS konuları listesinden çalışmaya devam et.
💬 Yorum Yap