8. sınıf matematiğinin en çok soru çıkan ünitelerinden biri kareköklü ifadelerdir. LGS’nin sayısal oturumunda her yıl bu üniteden soru gelir. Sorular çoğu zaman tek başına değil; alan, çevre, Pisagor bağıntısı ya da sıralama gibi başka konularla birlikte sorulur. Bu rehberde LGS kareköklü ifadeler konu anlatımını baştan sona, adım adım ve çözümlü örneklerle ele alıyoruz. Amaç, konuyu ezberlemeden mantığıyla öğrenmeni ve yeni nesil sorularda zaman kaybetmeden doğru sonuca ulaşmanı sağlamak.
📌 Bu yazıda neler var?
- Karekök nedir, tam kare sayılar nelerdir?
- Tam kare olmayan sayıların karekökünü tahmin etme
- a√b biçiminde yazma ve katsayıyı kök içine alma
- Kareköklü ifadelerde çarpma, bölme, toplama ve çıkarma
- Ondalık sayıların karekökü ve gerçek sayılar
- 5 çözümlü LGS tarzı soru, sık yapılan hatalar ve çalışma planı
Kareköklü İfadeler Ünitesinde Neler Öğreniyoruz?
8. sınıf matematik öğretim programında kareköklü ifadeler, sayılar ve işlemler öğrenme alanı içinde yer alır. Ünitenin kazanımlarını bilmek, hangi soru tiplerine hazırlanman gerektiğini netleştirir. LGS soruları bu kazanımların dışına çıkmaz; ancak birkaç kazanımı aynı soruda birleştirebilir. Programdaki temel beceriler şunlardır:
| Kazanım | LGS’deki karşılığı | Önem |
|---|---|---|
| Tam kare sayılar ile karekök ilişkisi | Alan–kenar soruları | 🔥🔥 |
| Karekökün hangi iki doğal sayı arasında olduğu | Sayı doğrusu, aralık soruları | 🔥🔥🔥 |
| a√b biçimine getirme, katsayıyı içeri alma | Sadeleştirme, sıralama | 🔥🔥🔥 |
| Çarpma ve bölme işlemleri | Dikdörtgen alanı, oran soruları | 🔥🔥🔥 |
| Toplama ve çıkarma işlemleri | Çevre ve uzunluk soruları | 🔥🔥🔥 |
| Çarpımı doğal sayı yapan çarpan | “En az kaçtır?” soruları | 🔥🔥 |
| Ondalık ifadelerin karekökü | İşlem soruları | 🔥 |
| Rasyonel ve irrasyonel sayılar | Sınıflandırma soruları | 🔥 |
Tablodaki önem derecesi, sınavlarda karşına çıkma sıklığına ve diğer konularla birleşme ihtimaline göre verilmiştir. Üç ateşli kazanımlar mutlaka akıcı hâle gelmeli; tek ateşliler ise kısa ama düzenli tekrarla yeterli olur. Şimdi her kazanımı sırayla, örneklerle inceleyelim.
1. Karekök Nedir? Tam Kare Sayılar
Bir sayının karesi, o sayının kendisiyle çarpımıdır. Örneğin 6’nın karesi 6 · 6 = 36’dır. Karekök ise bu işlemin tersidir: “Hangi pozitif sayının karesi 36 eder?” sorusunun cevabı 6’dır ve bunu √36 = 6 şeklinde yazarız. Buradaki “√” işaretine kök işareti, altındaki sayıya da kök içi denir.
Karesi alınarak elde edilen doğal sayılara tam kare sayılar denir. 1, 4, 9, 16, 25… gibi sayılar tam karedir ve kareköklerini bir doğal sayı olarak yazabiliriz. LGS’de hız kazanmak için en azından 1’den 20’ye kadar olan sayıların karelerini ezbere bilmen gerekir. Aşağıdaki tablo bu yüzden çok değerlidir:
| Sayı | Karesi | Sayı | Karesi | Sayı | Karesi | Sayı | Karesi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 | 16 | 256 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 | 17 | 289 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 | 18 | 324 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 | 19 | 361 |
| 5 | 25 | 10 | 100 | 15 | 225 | 20 | 400 |
💡 İpucu: Karekök ile kare alma birbirinin tersidir. Bu yüzden pozitif bir a sayısı için hem (√a)² = a hem de √(a²) = a olur. Örneğin (√7)² = 7 ve √(5²) = 5’tir. Üslü ifadelerdeki kuralları hatırlamak bu ünitede çok işine yarar; gerekirse LGS üslü sayılar konu anlatımı yazımıza göz at.
2. Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökü Hangi Aralıktadır?
√50 gibi bir ifadenin sonucu bir doğal sayı değildir, çünkü 50 tam kare değildir. Ancak bu sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunu kolayca bulabiliriz. Yöntem şudur: Kök içindeki sayının hemen altındaki ve hemen üstündeki tam kareleri bul.
✅ Örnek: √50 hangi iki doğal sayı arasındadır?
50’ye en yakın tam kareler 49 ve 64’tür. 49 < 50 < 64 olduğundan √49 < √50 < √64, yani 7 < √50 < 8 olur. Üstelik 50, 49’a 64’ten çok daha yakın olduğu için √50 sayısı 7’ye daha yakındır (yaklaşık 7,07).
Bu beceri LGS’de genellikle sayı doğrusu sorularında, sıralama sorularında ve “kaç farklı doğal sayı vardır?” tipindeki sorularda karşına çıkar. Örneğin “√n sayısı 6 ile 7 arasında ise n kaç farklı doğal sayı olabilir?” sorusunda 36 < n < 49 eşitsizliğini yazar, 37’den 48’e kadar 12 farklı değer olduğunu bulursun.
Daha hassas tahmin: Bazı sorular yalnızca aralığı değil, yaklaşık değeri de ister. Bunun için sayının iki tam kare arasında nereye düştüğüne bak. √20 için 16 ile 25 arasındaki 9 birimlik aralıkta 20, 16’dan 4 birim ileridedir. Bu yüzden √20 ≈ 4 + 4/9 ≈ 4,4 diye kabaca tahmin edilebilir (gerçek değer 4,47’dir). Bu yöntem kesin sonuç vermez ama şıkları elemek için çoğu zaman yeterlidir.
3. Kareköklü İfadeyi a√b Biçiminde Yazma
Kareköklü ifadelerde en temel beceri, kök içindeki sayıyı bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde ayırmaktır. Tam kare olan çarpan, karekökü alınarak kökün dışına çıkar. Bu işleme kök dışına çıkarma denir ve kural şudur:
Önemli olan, kök içindeki sayıyı ayırırken mümkün olan en büyük tam kareyi seçmektir. Aksi hâlde işlemi birkaç kez tekrarlaman gerekir.
- √72 = √(36 · 2) = 6√2 (√(4 · 18) = 2√18 diye başlarsan 18’i bir kez daha ayırman gerekir.)
- √48 = √(16 · 3) = 4√3
- √200 = √(100 · 2) = 10√2
- √75 = √(25 · 3) = 5√3
Katsayıyı Kök İçine Alma
Bu işlemin tersi de aynı derecede önemlidir. Kökün dışındaki katsayının karesi alınarak kök içine yazılır: a√b = √(a² · b). Örneğin 3√5 = √(9 · 5) = √45 olur. Bu dönüşüm özellikle sıralama sorularında hayat kurtarır, çünkü tüm sayıları tek bir kök içinde toplayınca hangisinin büyük olduğu hemen görünür.
✅ Örnek: a = 2√7, b = 3√3, c = √30 sayılarını küçükten büyüğe sırala.
a = √(4 · 7) = √28, b = √(9 · 3) = √27, c = √30. Kök içleri karşılaştırılınca 27 < 28 < 30 olduğundan sıralama b < a < c olur.
4. Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme
Çarpma ve bölme, kareköklü ifadelerdeki en rahat işlemlerdir çünkü kök içleri birbirine benzemese bile işlem yapılabilir. Kurallar şöyledir (a ve b pozitif sayılar):
Çarpma
√a · √b = √(a · b)
Bölme
√a ÷ √b = √(a ÷ b)
Katsayılı çarpma
a√b · c√d = (a·c)√(b·d)
Katsayılı ifadelerde kural basittir: dışarıdakiler dışarıdakilerle, içeridekiler içeridekilerle çarpılır veya bölünür. Ardından sonuç mümkünse sadeleştirilir.
- √12 · √3 = √36 = 6
- 2√3 · 5√6 = 10√18 = 10 · 3√2 = 30√2
- √72 ÷ √2 = √36 = 6
- 6√10 ÷ 2√5 = (6 ÷ 2)√(10 ÷ 5) = 3√2
- √5 · √5 = 5 (bir kareköklü ifadenin kendisiyle çarpımı, kök içindeki sayıya eşittir)
5. Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma
Toplama ve çıkarmada tek bir şart vardır: Kök içleri aynı olmalıdır. Kök içleri aynı olan terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerde kök içi aynen yazılır, katsayılar toplanır veya çıkarılır. Tıpkı cebirdeki 3x + 5x = 8x işlemine benzer.
- 3√2 + 5√2 = 8√2
- 7√5 − 2√5 = 5√5
- 4√3 + 2√7 → kök içleri farklı, daha fazla sadeleşmez.
Kök içleri ilk bakışta farklı görünse bile önce a√b biçimine getirmeyi dene. Çoğu LGS sorusunda ifadeler sadeleşince aynı kök içi ortaya çıkar:
✅ Örnek: √18 + √50 − √8 işleminin sonucu kaçtır?
√18 = 3√2, √50 = 5√2, √8 = 2√2. Hepsi √2 cinsinden yazıldı: 3√2 + 5√2 − 2√2 = 6√2.
⚠️ En sık yapılan hata
√9 + √16 ≠ √25! Doğrusu √9 + √16 = 3 + 4 = 7’dir; √25 ise 5’tir. Çarpma ve bölmedeki kural toplama ve çıkarmada geçerli değildir. Kök içlerini asla toplamayın.
6. Ondalık İfadelerin Karekökü
Ondalık sayıların karekökünü bulmanın en güvenli yolu, sayıyı önce kesre çevirmektir. Paydası 100, 10 000 gibi tam kare olan kesirlerde payın ve paydanın karekökü ayrı ayrı alınır.
- √0,49 = √(49/100) = 7/10 = 0,7
- √1,44 = √(144/100) = 12/10 = 1,2
- √0,0081 = √(81/10 000) = 9/100 = 0,09
Pratik kural: Ondalık bir sayının virgülden sonraki basamak sayısı çift ise ve virgülsüz hâli tam kare ise, karekökü alınınca basamak sayısı yarıya iner. 0,0081’de virgülden sonra 4 basamak var; 81’in karekökü 9 olduğundan sonuç virgülden sonra 2 basamaklı yazılır: 0,09.
⚠️ Tuzak: √0,4 = 0,2 değildir!
0,2 · 0,2 = 0,04 eder, 0,4 etmez. √0,4 = √(40/100) = √40 / 10 ≈ 0,63’tür. Virgülden sonraki basamak sayısı tek ise önce sonuna sıfır ekleyerek çift yap.
7. Çarpımı Doğal Sayı Yapan En Küçük Çarpan
“√72 · √n ifadesinin sonucu bir doğal sayı ise n en az kaçtır?” tipindeki sorular LGS’nin klasiklerindendir. Çözüm için kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır ve üssü tek olan asal çarpanları tamamla. Bir sayının tam kare olması için asal çarpanlarının tüm üslerinin çift olması gerekir.
✅ Çözüm
72 = 2³ · 3². 3’ün üssü zaten çift; 2’nin üssü 3 (tek). Üssü çift yapmak için bir tane daha 2 gerekir. Bu yüzden n’nin en küçük değeri 2‘dir. Kontrol: √72 · √2 = √144 = 12 ✔
Bu konu, 8. sınıfın ilk ünitesi olan çarpanlar ve katlar konusuyla doğrudan bağlantılıdır. Asal çarpanlara ayırmada zorlanıyorsan önce o konuyu tekrar etmen, karekök sorularını çok daha hızlı çözmeni sağlar.
8. Gerçek Sayılar: Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
Kareköklü ifadeler ünitesi, öğrencilerin irrasyonel sayılarla ilk kez tanıştığı yerdir. Rasyonel sayılar a/b (b ≠ 0) şeklinde iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır. √2, √3, √5 gibi tam kare olmayan sayıların karekökleri ise bu şekilde yazılamaz; ondalık açılımları sonsuza kadar devretmeden devam eder. Bunlara irrasyonel sayılar denir. π sayısı da irrasyoneldir.
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimine gerçek sayılar denir. LGS’de bu konudan genellikle “Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?” tarzında sorular gelir. Dikkat: √16 = 4, √(9/4) = 3/2 ve √0,25 = 0,5 rasyoneldir. Kök işareti görmek, sayının irrasyonel olduğu anlamına gelmez. Önce sadeleştir, sonra karar ver.
9. Kareköklü İfadeler ve Geometri Bağlantısı
Yeni nesil LGS sorularında kareköklü ifadeler neredeyse her zaman bir geometrik şekil üzerinden sorulur. Bilmen gereken üç temel bağlantı vardır:
- Karenin alanından kenarı bulma: Alanı A olan karenin bir kenarı √A’dır. Alanı 48 cm² olan karenin kenarı √48 = 4√3 cm, çevresi ise 4 · 4√3 = 16√3 cm’dir.
- Dikdörtgenin alanı ve çevresi: Kenarları kareköklü verilen dikdörtgende alan için çarpma, çevre için toplama kurallarını kullanırsın.
- Pisagor bağıntısı: Dik üçgende dik kenarlar a ve b ise hipotenüs √(a² + b²) olur. Dik kenarları 2 cm ve 4 cm olan üçgenin hipotenüsü √(4 + 16) = √20 = 2√5 cm’dir.
💡 Ezberlemeye değer yaklaşık değerler: √2 ≈ 1,41 | √3 ≈ 1,73 | √5 ≈ 2,24 | √7 ≈ 2,65
Geometri sorularında sonuç çoğu zaman 4√3 ya da 2√5 gibi kareköklü bir ifade olarak çıkar, ama şıklarda ondalık değer veya “hangi iki sayı arasında” seçenekleri bulunabilir. Bu dört değeri bilirsen 4√3 ≈ 4 · 1,73 = 6,92 gibi tahminleri saniyeler içinde yaparsın. Sınavda hesap makinesi olmadığı için bu küçük ezber, özellikle uzunluk karşılaştırması isteyen sorularda ciddi zaman kazandırır.
Geometri formüllerini ve üçgenleri toplu olarak tekrar etmek istersen LGS geometri konu anlatımı sayfamız bu konuyla birlikte çalışmak için idealdir.
10. LGS Tarzı Çözümlü Sorular
Aşağıdaki sorular, LGS’de çıkan soru tiplerine benzer şekilde hazırlandı. Önce kendin çöz, sonra çözümü oku.
Daha fazla pratik için LGS matematik deneme sınavı sayfamızdaki 20 soruluk testi çözebilir, tüm derslerin denemelerine deneme sınavları bölümünden ulaşabilirsin.
11. Sık Yapılan Hatalar Tablosu
| ❌ Yanlış | ✅ Doğru | Neden? |
|---|---|---|
| √9 + √16 = √25 | √9 + √16 = 7 | Kök içleri toplanmaz. |
| 2√3 + 3√2 = 5√5 | Sadeleşmez | Kök içleri farklı. |
| 3√5 = √15 | 3√5 = √45 | Katsayının karesi içeri girer. |
| √0,4 = 0,2 | √0,4 ≈ 0,63 | 0,2² = 0,04’tür. |
| √72 = 2√18 (son cevap) | √72 = 6√2 | En büyük tam kare ayrılmalı. |
| √16 irrasyoneldir | √16 = 4, rasyoneldir | Önce sadeleştir, sonra karar ver. |
12. Kareköklü İfadeler İçin 7 Günlük Çalışma Planı
MEB’in açıkladığı takvime göre 2027 LGS merkezî sınavı 13 Haziran 2027 Pazar günü yapılacak. Kareköklü ifadeler okulda sonbahar döneminde işlendiği için konuyu şimdi sağlam öğrenirsen bahar döneminde sadece tekrar yapman yeterli olur. Aşağıdaki plan günde 40–60 dakikalık çalışmaya göre hazırlandı:
Deneme sonuçlarının sana kaç puan kazandıracağını görmek için LGS puan hesaplama aracımızı kullanabilirsin. Matematiğin diğer ünitelerine genel bir bakış için de LGS matematik konu anlatımı rehberimize göz at.
Sıkça Sorulan Sorular
Kareköklü ifadeler LGS’de kaç soru çıkar?
Soru sayısı yıldan yıla değişse de bu ünite her yıl düzenli olarak sorulur. Sorular tek başına gelebildiği gibi geometri ve sıralama sorularının içinde de karşına çıkar. Bu yüzden ünitenin etkisi soru sayısından daha büyüktür.
Kareköklü ifadelerde toplama nasıl yapılır?
Yalnızca kök içleri aynı olan terimler toplanabilir. Önce her ifadeyi a√b biçimine getir, sonra kök içi aynı olanların katsayılarını topla. Örneğin √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
√2 neden irrasyonel bir sayıdır?
√2 iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz; ondalık açılımı (1,4142…) devretmeden sonsuza kadar sürer. Bu özellikteki sayılara irrasyonel sayı denir.
Karekök sorularını hızlı çözmek için ne yapmalıyım?
1–20 arası tam kareleri ve 2, 3, 5, 7 asal çarpanlarıyla sayı ayırmayı otomatik hâle getir. Sıralama sorularında katsayıları kök içine al, toplama sorularında önce sadeleştir.
2027 LGS ne zaman yapılacak?
MEB’in 2027 sınav uygulama takvimine göre merkezî sınav 13 Haziran 2027 Pazar günü yapılacak. Tarihler ve başvuru süreci için LGS tarihleri ve tercih rehberi sayfamızı takip edebilirsin.
🎯 Sonuç
Kareköklü ifadeler ilk bakışta karmaşık görünse de aslında birkaç kurala dayanır: tam kareleri tanı, en büyük tam kareyi kök dışına çıkar, çarpma–bölmede içeriyi içeriyle çarp, toplama–çıkarmada yalnızca benzer terimleri birleştir. Bu dört alışkanlık oturduğunda ünitenin neredeyse tüm soruları rutin hâle gelir. Düzenli tekrar ve bol soru çözümüyle bu ünite LGS’de puan kaybettiğin değil, puan topladığın konu olur.
Tüm derslerin konu anlatımları, denemeler ve güncel LGS haberleri için lgs.org.tr ana sayfasını ziyaret et ve LGS konuları listesinden çalışmaya devam et.
💬 Yorum Yap